Цель работы

• Изучить модель экспоненциального роста и её математическое представление
  
• Получить аналитическое решение дифференциального уравнения
  
• Провести параметрическое исследование влияния коэффициента \(\alpha\)
  
• Проанализировать:
  • поведение функции \(u(t)\) во времени
    
  • зависимость времени удвоения \(T_2\)
    
  • особенности вычислительных затрат

Задание

• Рассмотреть модель экспоненциального роста
  
• Исследовать её математическую формулировку
  
• Выполнить вычислительные эксперименты при различных значениях \(\alpha\)
  
• Визуализировать полученные результаты

Дифференциальное уравнение

Динамика экспоненциального роста задаётся уравнением:

\[ \frac{du}{dt} = \alpha u \]

Обозначения:

• \(u\) — исследуемая величина (численность, капитал и др.)
  
• \(t\) — время
  
• \(\alpha\) — параметр роста
  • \(\alpha>0\) — увеличение значения
    
  • \(\alpha<0\) — уменьшение значения

Решение и характеристики

Аналитическое решение:

\[ u(t) = u_0 e^{\alpha t} \]

Выражение для времени удвоения:

\[ T_2 = \frac{\ln(2)}{\alpha} \approx \frac{0.693}{\alpha} \]

Ключевые особенности модели:

• при увеличении \(\alpha\) система растёт быстрее
  
• время удвоения сокращается с ростом \(\alpha\)

Базовый эксперимент (α = 0.3)

• Исследовано изменение функции \(u(t)\) на заданном временном интервале
  
• Зафиксировано постепенное, а затем ускоряющееся увеличение величины

Влияние α на рост

• Выполнены расчёты для набора параметров:
  • \(\alpha = 0.1,\;0.3,\;0.5,\;0.8,\;1.0\)
    
• С увеличением \(\alpha\) наблюдается заметное ускорение роста системы

Время удвоения

Теоретическая зависимость:

\[ T_2 = \frac{\ln(2)}{\alpha} \]

• Численные результаты подтверждают теоретическую формулу
  
• При росте \(\alpha\) период удвоения становится меньше

Время вычислений

• Исследована зависимость продолжительности расчётов от значения \(\alpha\)
  
• Значительных изменений в вычислительных затратах не обнаружено

Выводы

• Проведённые вычислительные эксперименты согласуются с теоретической моделью
  
• При увеличении \(\alpha\):
  • система развивается быстрее
    
  • время удвоения уменьшается
    
  • время вычислений возрастает незначительно