Математическое моделирование

Лабораторная работа № 1

Заур Мустафаев

Российский университет дружбы народов

2026-02-18

Вводная часть

Цель работы

  • Изучить модель экспоненциального роста и её математическое представление
  • Получить аналитическое решение дифференциального уравнения
  • Провести параметрическое исследование влияния коэффициента \(\alpha\)
  • Проанализировать:
    • поведение функции \(u(t)\) во времени
    • зависимость времени удвоения \(T_2\)
    • особенности вычислительных затрат

Задание

  • Рассмотреть модель экспоненциального роста
  • Исследовать её математическую формулировку
  • Выполнить вычислительные эксперименты при различных значениях \(\alpha\)
  • Визуализировать полученные результаты

Теория: модель

Дифференциальное уравнение

Динамика экспоненциального роста задаётся уравнением:

\[ \frac{du}{dt} = \alpha u \]

Обозначения:

  • \(u\) — исследуемая величина (численность, капитал и др.)
  • \(t\) — время
  • \(\alpha\) — параметр роста
    • \(\alpha>0\) — увеличение значения
    • \(\alpha<0\) — уменьшение значения

Решение и характеристики

Аналитическое решение:

\[ u(t) = u_0 e^{\alpha t} \]

Выражение для времени удвоения:

\[ T_2 = \frac{\ln(2)}{\alpha} \approx \frac{0.693}{\alpha} \]

Ключевые особенности модели:

  • при увеличении \(\alpha\) система растёт быстрее
  • время удвоения сокращается с ростом \(\alpha\)

Эксперимент: базовый

Базовый эксперимент (α = 0.3)

  • Исследовано изменение функции \(u(t)\) на заданном временном интервале
  • Зафиксировано постепенное, а затем ускоряющееся увеличение величины

Эксперимент: параметрическое исследование

Влияние α на рост

  • Выполнены расчёты для набора параметров:
    • \(\alpha = 0.1,\;0.3,\;0.5,\;0.8,\;1.0\)
  • С увеличением \(\alpha\) наблюдается заметное ускорение роста системы

Время удвоения

Теоретическая зависимость:

\[ T_2 = \frac{\ln(2)}{\alpha} \]

  • Численные результаты подтверждают теоретическую формулу
  • При росте \(\alpha\) период удвоения становится меньше

Время вычислений

  • Исследована зависимость продолжительности расчётов от значения \(\alpha\)
  • Значительных изменений в вычислительных затратах не обнаружено

Итоги

Выводы

  • Проведённые вычислительные эксперименты согласуются с теоретической моделью
  • При увеличении \(\alpha\):
    • система развивается быстрее
    • время удвоения уменьшается
    • время вычислений возрастает незначительно